回転行列の固有値 - ishikawashの学習ノート

回転行列の固有値を考えましょう。二次元の回転では、回転により方向を変えないベクトルは無いので、結果として固有値は複素数です。これはよく知られていますね。ちなみに三次元では、回転軸は回転で方向（と大きさ）を変えないので、固有値のひとつは1であることは自明。他の二つはたぶん複素数ですね。

上記の説明は直感的に理解できますが、本当かどうか気になったので試しに手計算で確認してみました。愚直に特性方程式から求めてますが、もっとスマートな方法があるような気がします。

2次元の場合

回転行列Rは
$R = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$
ですので、その特性方程式は
$|R - \lambda E| = \lambda^2 - 2cos\theta\lambda + 1 = 0$
となります。この時、次の判別式Dを使ってこの方程式の実数解が存在するかどうかをチェックすると、
$D = 4(cos^2\theta - 1)$
0<θ<2π の範囲において、-1 < cos^2θ-1 < 0 ですので、D < 0 です。したがって、特性方程式の実数解は存在せず固有ベクトルも存在しません。

3次元の場合

説明を簡単にするため、Ｚ軸周りの回転に限定します。回転行列Rは
$R = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
ですので、その特性方程式は
$|R - \lambda E| = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 2cos\theta\lambda + 1) = 0$
で実数解はλ=1だけです。回転はベクトルの長さを変えないので固有値が1となるのは当然ですね。では、λ=1に属する固有ベクトルを求めてみましょう。とりあえずλ=1を
$(R - \lambda E)\vec{x} = \vec{0}$
に代入すると、
$\begin{pmatrix} cos\theta - 1 & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{0}$
となります。この方程式を満たすベクトルを適当に選ぶと、(x, y, z) = (0, 0, k) が得られますが*1、これはＺ軸、すなわち回転軸と平行なベクトルとなります。結果として、３次元の回転行列の固有ベクトルはその回転軸と等しいことが分かりました。

*1:ここの導出がちょっと怪しい。